0引言
常见的组合机构有实现预定轨迹要求的联动凸轮组合机构、凸轮-连杆组合机构、实现任意停歇或复杂运动规律要求的凸轮-齿轮组合机构、实现多种运动规律及轨迹要求的齿轮-连杆组合机构和齿轮与液压的组合机构等[1-6].这些机构能够实现特定要求的运动轨迹或复合运动，但是结构较为复杂，体积和重量比较大，并不适用于结构尺寸受限、运动规律过于复杂的场合。
复合运动机构中独特且结构较为简单的一种是复合运动齿轮副，它依靠齿轮副的节曲线形状变化实现旋转/直动复合运动。复合运动齿轮副包含正交复合运动锥齿轮副[7]、正交复合运动端曲面齿轮副[8]、复合运动面齿轮副[9]、复合运动非圆齿轮副和非圆齿轮齿条运动副。其中端曲面齿轮复合运动机构是在端曲面齿轮基础上提出的结合了凸轮机构、齿轮机构和非圆齿轮机构特点的一种新型的齿轮传动[10].这种运动副相比传统的组合机构结构更简单、可靠性更高，可以取代一些传统的组合机构，对于装备轻量化、简化机械结构意义重大。缺点是现阶段设计难度高，加工制造困难。针对端曲面齿轮的研究已经比较详尽，而端曲面齿轮副复合运动的研究却比较少，集中在齿面求解、运动规律的计算和应用方面[7,10].
本文对端曲面齿轮副复合运动的运动规律进行了仿真和试验验证，并计算了其啮合过程中的压力角和受力状况，为其设计和应用提供进一步的指导。
1运动规律
1.1齿轮副传动模型
如图1所示，齿轮1为普通直齿圆柱齿轮，其节曲线半径为r;齿轮2为端曲面齿轮，其节曲线半径为R;齿轮3为非圆柱齿轮，其节曲线为二阶椭圆，节曲线半径为r3（θ3）。端曲面齿轮是一种用于相交轴间 传递变传动比运动和动力的齿轮。端曲面齿轮的节曲线方程为：
式中：θ2为端曲面齿轮的转角；θ3为非圆齿轮的转角。
当非圆柱齿轮3旋转轴固定并作为主动轮，端曲面齿轮2作为从动轮，其输出为变传动比的旋转运动，此时即为端曲面齿轮副；当以端曲面齿轮2作为主动轮，圆柱齿轮1作为从动轮，其输出为圆柱齿轮的旋转运动与圆柱齿轮的径向运动的复合运动；当以圆柱齿轮1为主动轮，以端曲面齿轮2为从动轮，其输出为端曲面齿轮的旋转运动和端曲面齿轮的轴向移动的复合运动。通过修改端曲面齿轮的节曲线可以相应改变输出端的运动规律，从而满足所要求的工作场合。本文以直齿圆柱齿轮1作为主动轮分析端曲面齿轮副复合运动的特性。
1.2运动规律
当以直齿圆柱齿轮为主动轮时，输出端轴向位移的运动规律为[8]:
根据齿轮啮合原理，齿轮啮合过程中啮合点的瞬时速度相等，即v→1=v→2,v→1、v→2分别为圆柱齿轮、端曲面齿轮上啮合点的速度。对于从动轮（端曲面齿轮）有：v→2=v→t+v→a,对于主动轮（直齿圆柱齿轮）有：v→1=r→1ω→1,则端曲面齿轮切向速度
式中：v→t为切向速度；v→a为轴向速度。根据以上计算方法，复合运动端曲面齿轮副采用如下参数时：圆柱齿轮齿数Z1=12;齿轮副模数m=2mm;端曲面齿轮齿数Z2=36;偏心率k=0.1;节曲线半径R=35.91mm;端曲面齿轮阶数n2=2;主动轮转速N1=150r/min.可得端曲面齿轮副复合运动的运动规律如图2所示。
从图2可以看出，该端曲面齿轮副输出旋转/移动的复合运动，而且端曲面齿轮的旋转和轴向移动规律均呈现出一定周期性，当轴向运动的位移最大时，轴向运动速度为零，端曲面齿轮的转速也最大。
将端曲面齿轮复合运动的模型导入ADAMS仿真软件，施加相应的约束、载荷及驱动，如图3所示。仿真得到输出端端曲面齿轮的运动规律，将其与理论值对比，如图4所示。
从图4可以看出，端曲面齿轮副的位移的仿真结果随着主动轮转角的变化周期性变化，而且因为有误差和干扰的存在，仿真值与理论值存在一定的偏差，但二者的变化范围都基本相同，这验证了理论计算结果的正确性。
2受力分析
2.1受力分析
齿轮副啮合过程中的受力状况直接影响传动系统的设计和校核。复合运动端曲面齿轮副啮合过程中的受力状况如图5所示，图中1为主动轮；1′为随动轮，主要用于防止端曲面齿轮出现严重的偏载；2为从动轮。
当以直齿圆柱齿轮作为主动轮时：
式中：T1、T2分别为直齿圆柱齿轮和端曲面齿轮的转矩；i12为齿轮副复合运动的传动比；α为齿轮副压力角。
2.2压力角计算
对于端曲面齿轮副复合运动，其啮合过程中的压力角与标准渐开线齿轮副不同。渐开线上任意一点法向压力的方向线与该点速度方向之间的夹角为该点的 压 力角。对 于端曲面 齿 轮复合运动，其压力角即为圆柱齿轮的切向力F→n与端曲面齿轮的啮合点的速度v→2之间的夹角。如图6所示，复合运动端曲面齿轮副的压力角α等于圆柱齿轮的齿形角α0加上切向速度vt与合速度v2之间的夹角β。
图6中ω1、ω2分别为圆柱齿轮和端曲面齿轮的转速；Fa、Ft、Fn分别为该齿轮副中端曲面齿轮所受的轴向力、切向力和法向力；v→t、v→a、v→2为端曲面齿轮节曲线上一点的切向速度、轴向速度和合速度；β为切向速度v→t与合速度v→2之间的夹角；α为复合运动端曲面齿轮副的压力角：
α=α0+β（10）式中：
β=arctan（v→a/v→t）；α0为直齿圆柱齿轮压力角，本文取20°。
当齿轮副压力角增大时，齿轮副传递相同的扭矩需要的作用力也越大，甚至可能出现自锁现象，通常要求齿轮副压力角最大不能大于65°，因此有必要对该复 合运动齿轮副的压力角进行分析。刀具压力角为20°，从动轮负载T2=10N·m,分别取直齿圆柱齿轮的齿数为Z1= 12,13,14,15,其他参数采用1.2节中参数时，其压力角变化情况和圆柱齿轮的转矩如图7所示。可以看出，复合运动端曲面齿轮副的压力角成周期性变化，但圆柱齿轮齿数对压力角的影响并不明显，其最大值为36°，最小值为20°，处于合理的范围内。
主动轮的转矩变化影响到齿轮副的啮合力，进而影响对主动轮轴承的设计和校核。由于端曲面齿轮转速并不恒定，其角加速度的变化对啮合力的影响不可忽视。分别取主动轮转速n1=5、10r/s,其他参数相同的情况下，主动轮转矩变化如图7所示。可以看出，当主动轮转速增加时，圆柱齿轮转矩的波动范围更大，其最小值更小，最大值也更大，这一定程度上决定了复合运动端曲面齿轮副只能用于中低速的场合。而其周期性地改变与转速的增加是等比例的，因而其随转角变化的周期性并不受转速的影响。
圆柱齿轮的切向力与圆柱齿轮转矩是等比例关系，而圆柱齿轮径向力还与压力角的变化相关。从图8可以看出，受压力角变化的影响，圆柱齿轮径向力的变化规律不同于切向力，而且其受转速变化的影响相对较小。
3试验验证及对比
针对这一新型齿轮传动副，搭建了用于验证其规律的试验平台。由铝型材作为支座，其余零件除标准件外由树脂材料经工业级3D打印设备加工，加工出的'齿轮实物见图9.
试验方案如图10所示，可调速的减速电机通过梅花联轴器连接主动轴，齿轮副啮合带动端曲面齿轮的旋转/直动运动，从动轴由箱式光轴轴承支撑，由弹簧提供从动轴往返的回复力。
最终搭建好 的 试 验 平 台 实 物 如 图11所 示。柱齿轮作为主动轮连接电机，端曲面齿轮作为从动轮，调速器用于控制电机转速，激光位移传感器LH-050通过内部的CMOS元件感应并测量输出轴的位移，控制器用于接受和处理测量数据，直流电源为控制器和传感器提供24V直流电源。
通过配套软件LK-Navigator 2控制并观察传感器的数据。调节电机的转速为10r/min,试验台平稳运行，测量输出端的位移。电机最高转速为100r/min,调节电机转速，依次增加20r/min,测量其输出轴轴向运动位移。
转速调节至100r/min时齿轮副依然可以平稳运转。电机转速为10~90r/min时，输出轴的最大位移分 别 为3.517、3.532、3.483、3.532、3.492mm,理 论 最 大 位 移 为3.58 mm,最 大 误 差 为0.097mm,误差为2.7%,在误差允许的范围内。复合运动轴向运动的位移测量值如图12所示，理论值与测量值的对比如图13所示，图中主动轮转速为30r/min.从图13可以看出，端曲面齿轮副的位移随着主动轮转角的变化周期性变化，测量曲线与理论曲线的变化趋势基本相同。但是因为有制造、安装误差的存在，试验值与理论值存在一定的偏差。
根据式（2）~（5），根据测量的位移规律以及已知的转速和齿轮副参数，反算出端曲面齿轮的转速，并与理论值对比，如图14所示。可以看出由试验得出的结果与理论值存在一定的偏差，但变化趋势基本相同。以上分析表明试验测得的数据是有效的，也验证了理论计算结果的正确性。
4结论
（1）采用仿真方法验证了端曲面齿轮副复合运动的规律；设计并搭建了端曲面齿轮复合运动验证试验平台，验证了其输出轴的复合运动规律，并与理论值对比，验证了其正确性。
（2）分析并计算了端曲面齿轮副复合运动的压力角变化规律以及齿轮副啮合力变化规律。齿轮副的压力角受齿轮副齿数的影响比较小，而齿轮副的啮合力受齿轮副转速的影响，决定了该齿轮副适用于中、低速的场合，为该齿轮系统的设计和校核奠定了基础。
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